Российский актёр театра и кино. Родился 13 мая 1986 года в Москве. В юности увлекался спортом — футболом, настольным теннисом, греко-римской борьбой. Участвовал в художественной самодеятельности. После окончания школы поступил в ГИТИС на курс Владимира Алексеевича Андреева. Проучившись год, забрал документы и снова отправился поступать. В 2004 году был принят во ВГИК, в мастерскую Владимира Александровича Грамматикова. В 2009–2011 годах работал в труппе Московского драматического театра имени К. С. Станиславского. Был задействован в спектаклях «Троянской войны не будет», «7 дней до потопа» и «Ромео и Джульетта». В кино дебютировал в 2009 году, сыграв Гамлета в художественном фильме Юрия Кары «Гамлет. XXI век». За исполнение этой роли по итогам 8-го фестиваля кино и театра «Амурская осень» в Благовещенске Месхи получил приз за «Лучшую мужскую роль в кино». Наибольшую популярность актёру принесла роль Алекса Вайнштейна в телесериале режиссёра Рамиля Сабитова «Физика или химия». В 2013 году сыграл главную роль в многосерийном телевизионном фильме «Сын отца народов», посвящённом судьбе Василия Сталина. В 2014 году вышел сериал «Волчье солнце», где актёр снялся с Екатериной Климовой, своей будущей женой. В 2015 году состоялось бракосочетание актёров. В 2019 году супруги развелись.